Convergence of Series and Limit of Sequences Practice Problems

Exercice 4

1. Puisque la série converge, le reste de la série tend vers 0 :
2. Comme la suite est décroissante, pour tout tel que , on a .
3. On peut donc encadrer la somme par :
4. Par le théorème du pincement, puisque et que la somme tend vers 0, on a :
5. De même, on a (en utilisant un décalage d’indice ou en observant que est asymptotiquement lié à ). Plus rigoureusement, pour tout , n’est pas direct, mais on sait que .
6. Comme quand , on en déduit :

Exercice 5

Partie 1

• Série :
  Utilisons la règle de d’Alembert : .
  . La série converge.
• Série :
  quand . Donc .
  .
  Pour assez grand, est faux, mais croît beaucoup plus lentement que . Cependant, croît plus lentement que pour tout .
  En fait, . Comme , décroît plus lentement que . La série diverge.
• Série :
  .
  On sait que . Donc .
  Par comparaison avec la série harmonique, la série diverge.

Partie 2

• Série :
  Utilisons le développement limité quand .
  .
  La série diverge.
• Série :
  .
  .
  Comme pour , la série diverge.
• Série :
  On a qui décroît beaucoup plus vite que n’importe quelle puissance de .
  car .
  Par comparaison avec une série de Riemann , la série converge.