Operaciones con Intervalos: Intersección, Unión y Diferencia

A continuación, se resuelven los ejercicios planteados en la imagen, utilizando la notación de intervalos y, cuando es requerido, la representación geométrica en la recta real.

Considere los siguientes intervalos:

Se pide calcular las siguientes operaciones:

Para encontrar la intersección, buscamos los elementos que están en ambos intervalos.
El límite inferior es el máximo de los límites inferiores: . Como y , el límite inferior de la intersección debe ser e incluido (por ).
El límite superior es el mínimo de los límites superiores: . Como y , el límite superior de la intersección debe ser y excluido (por ).

Representación en la recta real:
La recta real contendrá los números desde (incluido) hasta (excluido).

La intersección son los elementos comunes. Todos los elementos en están contenidos en .

Representación en la recta real:
La recta real contendrá los números desde (excluido) hasta (excluido).

Por la propiedad conmutativa de la intersección, .

El límite inferior es el máximo de los límites inferiores: . Como y , el límite inferior es e incluido.
El límite superior es el mínimo de los límites superiores: . Como y , el límite superior es y excluido.

Representación en la recta real:
La recta real contendrá los números desde (incluido) hasta (excluido).

El límite inferior es el máximo de los límites inferiores: . Como y , el límite inferior es e incluido.
El límite superior es el mínimo de los límites superiores: . Como y , el límite superior es e incluido.

El límite inferior es el máximo de los límites inferiores: . Como y , el límite inferior es y excluido.
El límite superior es el mínimo de los límites superiores: . Como y , el límite superior es y excluido.

Para cada caso, determine el conjunto y represente geométricamente los conjuntos y .

Nota: Dado que la representación geométrica de muchos de estos intervalos en una sola recta sería confusa, se representarán y en rectas separadas para cada caso, y luego se indica el resultado de la unión.

Unión :
El límite inferior es el mínimo de los límites inferiores: . Como y , el límite inferior es y excluido.
El límite superior es el máximo de los límites superiores: . Como y , el límite superior es y excluido.

Unión :
está contenido completamente dentro de (pues y , y ambos son abiertos).

Unión :
Como los intervalos no se superponen, la unión es la colección de ambos intervalos disjuntos.

(Círculo abierto en y círculo abierto en ).

Unión :
incluye todos los números menores que 3. incluye todos los números mayores que 3. Juntos, cubren todos los números reales excepto el 3.

Representación en la recta real:
Toda la recta, excepto el punto 3 (que se marca con un círculo abierto o una “X”).

Unión :
Los intervalos son disjuntos.

Representación en la recta real:
Se muestran dos segmentos separados.

(Punto cerrado en 3 y 5; punto abierto en 8 y 10).

Nota: Asumimos que .
Unión :
cubre . cubre .
El mínimo extremo es . El máximo extremo es .
Como el punto 2 pertenece a y el punto 0 pertenece a , y la unión incluye todos los números entre ellos hasta el infinito, la unión cubre todos los números reales.

Considere los siguientes intervalos:

Dibujar sobre la recta real y escribir con notación de intervalo el resultado de las siguientes operaciones (diferencias de conjuntos):

Para ayudar a visualizar las diferencias, primero dibujamos los cuatro conjuntos en una recta extendida:
(Nota: para incluido, para excluido).

A:
B:
C:
D:

significa .
significa .
La condición para es Y . Esto se simplifica a .

(La porción de que no está en : todo a la izquierda de , sin incluir ).

significa .
significa .
La condición para es Y . Esto se simplifica a .

(La porción de que no está en : todo a la derecha de , incluyendo ).

significa .
significa .
La condición para es Y . Esto se simplifica a .

Representación en la recta real:
Un solo punto, el 3.

significa .
significa o .
La condición para es Y ( o ).
Si y , no hay solución.
Si y , la intersección es .

(Todo a la izquierda de , sin incluir ).

significa .
significa o .
La condición para es Y ( o ).
Si y , no hay solución.
Si y , la intersección es .

(Todo a la derecha de , incluyendo ).

significa .
significa o .
La condición para es Y ( o ).

Representación en la recta real:
Dos intervalos separados.

significa .
significa o .
La condición para es Y ( o ).

(Todo a la izquierda de , incluyendo ).