Calculus Practice Problems: Continuity, Limits, and Asymptotes

Published on May 19, 2026

Calculus

Solve problems involving function continuity, calculate limits at points and infinity, and find vertical and horizontal asymptotes for given functions.

Question

Eres un profesor y actúa como uno paciente y explícame todo del pdf de la forma más simple posible, como si se lo enseñaras a un niño de 5 años. Usa analogías y lenguaje sencillo para que sea fácil de entender. y tienes que hacer un doc explicando todo esto de aquí. Eso en el apartado explicativo; posteriormente, de explicar el ejercicio, debes en ese mismo generar una ULTRA GUÍA toda guapa para entender TODOS los casos y ten en cuenta que no entiendo ABSOLUTAMENTE NADA del tema. (solo no cambies nada ni transformes nada de los pdf, todo ponlo tal como está

Answer

¡Hola! No te preocupes en absoluto. Sé que ver todas estas letras, números y rayitas parece un idioma de marcianos, pero te prometo que es como jugar con piezas de LEGO o seguir una receta de cocina.

Imagina que las matemáticas son como un juego de reglas. Si sigues las reglas, ¡ganas! Yo voy a ser tu guía en esta aventura. Vamos a ir paso a paso, sin prisas.

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🍎 PARTE 1: EXPLICACIÓN DE LOS EJERCICIOS (Como si tuviéramos 5 años)

6.- Estudiar la continuidad (¿El camino es suave o tiene baches?)

Imagina que vas en tu patinete por un camino.

Si el camino es continuo, puedes ir sin parar, sin caerte y sin que el camino se corte de repente. Es un camino suave.
Si el camino no es continuo, es como si de repente hubiera un agujero o un salto gigante. ¡PUM! Te caes.

a)
Aquí, el camino tiene un problema en el número

. Si intentas llegar al

usando la primera parte (

), ¡el número de abajo se vuelve cero! Y dividir por cero es como intentar repartir caramelos entre cero niños… ¡es imposible, el universo explota! Así que hay un “agujero infinito” en el

. No es continuo.

b)
Aquí tenemos tres trozos de camino. Para saber si es continuo, tenemos que ver si los trozos “encajan” perfectamente en las uniones (en

y en

). Es como si juntaras dos piezas de puzzle: si los bordes coinciden, ¡perfecto! Si no, hay un escalón.

En : El primer trozo da y el segundo da . ¡No encajan! Hay un salto. No es continuo.

7.- Calcula “a” para que sean continuas (¡Repara el camino!)

Aquí el problema es que el camino está roto y te dan una herramienta llamada “

” para arreglarlo. Tu misión es encontrar qué número debe ser “

” para que el salto desaparezca y el camino sea suave.

a)
En el número

, el primer trozo llega al valor

(

). Para que el segundo trozo también empiece en

, tenemos que jugar con la “

”. Si hacemos que

, ¡listo! Despejamos y encontramos la

mágica.

b)
Aquí hay un agujerito justo en el

. La parte de arriba es una fórmula que, si la simplificamos (como quitarle la cáscara a una fruta), nos dice hacia dónde iba el camino. El valor de “

” tiene que ser ese número para “tapar” el agujero.

8.- El trabajador y sus montajes (La historia de la práctica)

Imagina a un amigo que está aprendiendo a montar juguetes. Al principio es lento, pero conforme practica más días (

), se vuelve un experto. La fórmula

nos dice cuántos juguetes monta cada día.

a) ¿Cuántos monta al empezar?
“Empezar” significa que han pasado

días (

). Solo tienes que cambiar las

por

en la fórmula y ver qué número sale. ¡Es como poner el cronómetro en cero!

b) Los límites (¿A dónde vamos?)

: Esto es como preguntar: “¿Qué pasa si intentamos ir hacia el día ?”. (Aunque en la vida real no hay días negativos, en matemáticas jugamos a imaginar).
: Esto es preguntar: “¿Qué pasará cuando el trabajador sea un abuelito y haya entrenado muchísimos, muchísimos años?”. Es ver hacia dónde se estabiliza su velocidad.

c) ¿Cuántos días para 500 montajes?
Es como un reto: “Quiero llegar a la meta de 500”. Ponemos el

donde dice

y despejamos la

para saber cuántos días tardará.

9.- Las Asíntotas (Las líneas invisibles)

Imagina que estás corriendo hacia una pared, pero por más que corres, ¡nunca llegas a tocarla! Esa pared es una asíntota. Es una línea invisible que la función se acerca muchísimo, pero nunca llega a cruzarla.

a) y b)
Aquí buscamos tres tipos de paredes:

Verticales: Donde la función “explota” (normalmente donde lo de abajo es cero).
Horizontales: Si la función se queda plana al final del camino.
Oblicuas: Si la función se pone a subir o bajar como una rampa infinita.

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Si no sabes nada, esta es tu tabla de supervivencia. ¡Guárdala bien!

🛠️ 1. El Concepto de Continuidad

Para que una función sea continua en un punto, se deben cumplir 3 reglas de oro:

Que exista el punto: Que no haya un agujero vacío.
Que exista el límite: Que si te acercas por la izquierda y por la derecha, parezca que vas al mismo sitio.
Que coincidan: Que el valor del límite sea igual al valor del punto.

¿Cómo se estudia?

Calculas el límite por la izquierda ()
Calculas el límite por la derecha ()
Si son iguales Es continua.
Si son distintos Hay un salto (Discontinua).

🧩 2. Cómo encontrar la “a” (El Reparador)

Cuando te pidan hallar un valor para que sea continua:

Iguala los dos trozos de la función en el punto donde se juntan.
Resuelve la ecuación como si fuera un misterio. El resultado es tu “”.

📈 3. Los Límites (El “Casi pero no”)

Límite cuando : Mira quién manda. Si el de arriba tiene más potencia (como vs ), la función se va al infinito. Si tienen la misma potencia, divides los números de adelante.
Límite cuando algo se hace cero: Si te da , ¡Cuidado! Hay una asíntota vertical.

📏 4. Las Asíntotas (Las Paredes Invisibles)

Tipo de Asíntota	¿Cómo se encuentra?	¿Qué significa?
Vertical (AV)	Igualas lo de abajo a cero.	Una pared que sube o baja de golpe.
Horizontal (AH)	Calculas el límite cuando .	Una línea plana al final del dibujo.
Oblicua (AO)	Solo si no hay AH y el grado de arriba es 1 más que el de abajo.	Una rampa infinita.

💡 CONSEJO DE ORO DEL PROFE:

Cuando veas una fracción, mira siempre el denominador (lo de abajo). El denominador es el “villano” de la película: si se hace cero, ¡causa todo el caos (asíntotas y discontinuidades)!

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