01
p(λ) = det(λI − A)Polinomio caratteristico
Risolvi det(λI−A)=0 e controlla i coefficienti con traccia e determinante.
Calcolatrice degli autovalori
Calcolatrice degli autovalori
Calcolatrice degli autovalori
Ottieni spiegazioni IA su polinomio caratteristico, autovettori, radici multiple e complesse. Verifica Av=λv.
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Av = λv
Polinomio caratteristico
Autovettori e autospazi
Autovalori ripetuti
eigenvalue calculator
Calcolatrice degli autovalori
Ottieni spiegazioni IA su polinomio caratteristico, autovettori, radici multiple e complesse. Verifica Av=λv. Mantieni le frazioni senza arrotondare troppo presto. La IA può sbagliare: verifica i calcoli importanti.
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Scegli l’operazione
Ottieni spiegazioni IA su polinomio caratteristico, autovettori, radici multiple e complesse. Verifica Av=λv.
02
(A − λI)v = 0Autovettori e autospazi
Risolvi (A−λI)v=0 e scegli vettori non nulli.
03
1 ≤ dim Eλ ≤ mλAutovalori ripetuti
La molteplicità algebrica può superare la dimensione dell’autospazio.
04
A = PDP⁻¹Radici complesse e diagonalizzazione
Una matrice reale può avere autovalori complessi; per diagonalizzare serve una base di autovettori.
Metodo
Inserimento e verifica
Mantieni le frazioni senza arrotondare troppo presto. La IA può sbagliare: verifica i calcoli importanti.
- 1
Inserisci tutta la matrice
A ∈ ℝⁿˣⁿOgni parentesi interna è una riga. Conserva segni e frazioni e includi b per Ax=b.
- 2
Specifica l’operazione
det(A − λI) = 0Indica il metodo e se lavori sui reali o sui complessi.
- 3
Segui i passaggi
v ∈ ker(A − λI), v ≠ 0Controlla ogni operazione sulle righe e ogni variabile libera.
- 4
Verifica il risultato
Av − λv = 0Sostituisci nell’equazione iniziale oppure controlla il prodotto e le coppie proprie.
Mantieni le frazioni senza arrotondare troppo presto. La IA può sbagliare: verifica i calcoli importanti.
Riferimento
Formule e condizioni
Mantieni le frazioni senza arrotondare troppo presto. La IA può sbagliare: verifica i calcoli importanti.
Coppia propria
Av = λv, v ≠ 0Risolvi (A−λI)v=0 e scegli vettori non nulli.
Polinomio 2×2
p(λ) = λ² − tr(A)λ + det(A)Risolvi det(λI−A)=0 e controlla i coefficienti con traccia e determinante.
Somma e prodotto
Σλᵢ = tr(A); ∏λᵢ = det(A)λ₁, …, λₙ; La molteplicità algebrica può superare la dimensione dell’autospazio.
Diagonalizzazione
AP = PDUna matrice reale può avere autovalori complessi; per diagonalizzare serve una base di autovettori.
Esempio
Esempi svolti
Mantieni le frazioni senza arrotondare troppo presto. La IA può sbagliare: verifica i calcoli importanti.
Esempio 1
Av = λv; A = [[3,1],[0,2]]Due autovalori distinti e verifica delle coppie proprie.
- p(λ) = (λ−3)(λ−2)
- λ = 3: (A−3I)v = 0 ⇒ v = t[1,0], t ≠ 0
- λ = 2: (A−2I)v = 0 ⇒ v = t[−1,1], t ≠ 0
Risultato: λ = 3: E₃ = span{[1,0]}; λ = 2: E₂ = span{[−1,1]}
Verifica: A[1,0] = 3[1,0]; A[−1,1] = 2[−1,1]
Esempio 2
Av = λv; A = [[2,1],[0,2]]Radice doppia con un solo autovettore indipendente: non diagonalizzabile.
- p(λ) = (λ−2)²
- A−2I = [[0,1],[0,0]] ⇒ v = t[1,0], t ≠ 0
- dim ker(A−2I) = 1 < 2
Risultato: λ = 2; dim E₂ = 1; A ≠ PDP⁻¹
Verifica: A[1,0] = 2[1,0]; 2+2 = 4; 2·2 = 4
Esempio 3
Av = λv; A = [[0,−1],[1,0]]La rotazione ha due radici complesse e nessuna reale.
- p(λ) = λ² + 1
- λ = i: v = [1,−i]; λ = −i: v = [1,i]
- ℝ: ∄ λ; ℂ: λ = ±i
Risultato: ℂ: λ = ±i; Eᵢ = span{[1,−i]}, E₋ᵢ = span{[1,i]}
Verifica: A[1,−i] = [i,1] = i[1,−i]; i+(−i) = 0; i(−i) = 1
Errori comuni da controllare
Mantieni le frazioni senza arrotondare troppo presto. La IA può sbagliare: verifica i calcoli importanti.
Dimensioni incompatibili
Determinanti e autovalori richiedono matrici quadrate; controlla anche le dimensioni del prodotto.
Perdere segni o fattori
Tieni traccia di scambi, moltiplicazioni di righe e segni dei cofattori.
Saltare la verifica
Sostituisci il risultato; un autovettore non può essere il vettore nullo.
Domande frequenti
