01
A·B / A⁻¹Operazioni matriciali
Per AB le dimensioni interne devono coincidere; l’inversa richiede una matrice quadrata non singolare.
Calcolatrice di algebra lineare
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Inserisci matrici per spiegazioni IA su operazioni, riduzione per righe, Ax=b, rango e nucleo. Verifica i risultati.
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Ax = b
Operazioni matriciali
Sistemi e riduzione per righe
Rango e nucleo
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Inserisci matrici per spiegazioni IA su operazioni, riduzione per righe, Ax=b, rango e nucleo. Verifica i risultati. Mantieni le frazioni senza arrotondare troppo presto. La IA può sbagliare: verifica i calcoli importanti.
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Scegli l’operazione
Inserisci matrici per spiegazioni IA su operazioni, riduzione per righe, Ax=b, rango e nucleo. Verifica i risultati.
02
[A | b] → RREFSistemi e riduzione per righe
Riduci [A|b] e distingui soluzione unica, incompatibilità e variabili libere.
03
rank(A) + nullity(A) = nRango e nucleo
Conta i pivot e costruisci una base del nucleo dalle variabili libere.
04
u·v / Av = λvVettori e problemi spettrali
Richiedi prodotti scalari, proiezioni, determinanti o autovettori.
Metodo
Inserimento e verifica
Mantieni le frazioni senza arrotondare troppo presto. La IA può sbagliare: verifica i calcoli importanti.
- 1
Inserisci tutta la matrice
A, bOgni parentesi interna è una riga. Conserva segni e frazioni e includi b per Ax=b.
- 2
Specifica l’operazione
Ax = bIndica il metodo e se lavori sui reali o sui complessi.
- 3
Segui i passaggi
R₂ ← R₂ − ½R₁Controlla ogni operazione sulle righe e ogni variabile libera.
- 4
Verifica il risultato
Ax − b = 0Sostituisci nell’equazione iniziale oppure controlla il prodotto e le coppie proprie.
Mantieni le frazioni senza arrotondare troppo presto. La IA può sbagliare: verifica i calcoli importanti.
Riferimento
Formule e condizioni
Mantieni le frazioni senza arrotondare troppo presto. La IA può sbagliare: verifica i calcoli importanti.
Prodotto matriciale
(m×n)(n×p) → m×pPer AB le dimensioni interne devono coincidere; l’inversa richiede una matrice quadrata non singolare.
Inversa
AA⁻¹ = A⁻¹A = IPer AB le dimensioni interne devono coincidere; l’inversa richiede una matrice quadrata non singolare.
Sistema lineare
Ax = bRiduci [A|b] e distingui soluzione unica, incompatibilità e variabili libere.
Rango e nullità
rank(A) + nullity(A) = nConta i pivot e costruisci una base del nucleo dalle variabili libere.
Esempio
Esempi svolti
Mantieni le frazioni senza arrotondare troppo presto. La IA può sbagliare: verifica i calcoli importanti.
Esempio 1
Ax = b; A = [[2,1],[1,3]], b = [5,5]Eliminazione e sostituzione nel sistema originale.
- 2x + y = 5; x + 3y = 5
- R₂ ← R₂ − ½R₁: [0, 5/2 | 5/2]
- y = 1; x = (5−1)/2 = 2
Risultato: x = [2,1]
Verifica: A[2,1] = [5,5] = b
Esempio 2
A⁻¹; A = [[2,1],[1,3]]Inversa della stessa matrice, verificata con l’identità.
- det(A) = 6−1 = 5 ≠ 0
- A⁻¹ = (1/5)[[3,−1],[−1,2]]
Risultato: A⁻¹ = [[3/5,−1/5],[−1/5,2/5]]
Verifica: AA⁻¹ = (1/5)[[5,0],[0,5]] = I
Esempio 3
rank(A), ker(A); A = [[1,2,3],[2,4,6]]Una riga dipendente lascia due variabili libere.
- R₂ ← R₂ − 2R₁: [[1,2,3],[0,0,0]]
- x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 0
- x = s[−2,1,0] + t[−3,0,1]
Risultato: rank(A) = 1; ker(A) = span{[−2,1,0], [−3,0,1]}
Verifica: A[−2,1,0] = A[−3,0,1] = [0,0]; 1+2 = 3
Errori comuni da controllare
Mantieni le frazioni senza arrotondare troppo presto. La IA può sbagliare: verifica i calcoli importanti.
Dimensioni incompatibili
Determinanti e autovalori richiedono matrici quadrate; controlla anche le dimensioni del prodotto.
Perdere segni o fattori
Tieni traccia di scambi, moltiplicazioni di righe e segni dei cofattori.
Saltare la verifica
Sostituisci il risultato; un autovettore non può essere il vettore nullo.
Domande frequenti
