01
ad − bc2×2 行列式
主对角线乘积减去另一条对角线乘积，结果可以为负。
行列式计算器
determinant calculator
det(A) = ad − bc
2×2 行列式
3×3 余子式展开
更大方阵与行变换
determinant calculator
行列式计算器
输入方阵，查看 2×2 和 3×3 行列式的分步讲解，理解余子式展开、行变换和矩阵可逆性。 保留分数，避免过早取小数。AI 解答可能出错，重要结果请独立验算。
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选择你要计算的内容
输入方阵，查看 2×2 和 3×3 行列式的分步讲解，理解余子式展开、行变换和矩阵可逆性。
02
+ − +3×3 余子式展开
先求子式，再按 +、−、+ 的符号展开；萨鲁斯法则仅适用于 3×3。
03
det(U) = ∏uᵢᵢ更大方阵与行变换
可用消元化为三角矩阵；换行和缩放产生的因子必须保留。
04
det(A) = 0 ⇔ singular奇异性与几何意义
行列式为零表示方阵不可逆；绝对值表示面积或体积缩放倍数。
方法
输入与验算步骤
保留分数，避免过早取小数。AI 解答可能出错，重要结果请独立验算。
- 1
输入完整矩阵
A ∈ ℝⁿˣⁿ每组方括号是一行，保留负号和分数；解方程组时还需右端向量。
- 2
说明运算和方法
Cᵢⱼ = (−1)ⁱ⁺ʲ Mᵢⱼ写明要找的结果、指定方法，以及在实数还是复数范围内计算。
- 3
逐步检查推导
Rᵢ ↔ Rⱼ ⇒ −det(A)对照原矩阵检查每次行变换、符号和自由变量。
- 4
代回验证
det(A) ≠ 0 ⇒ A⁻¹将结果代回原式；逆矩阵检查乘积，特征向量检查 Av = λv。
保留分数，避免过早取小数。AI 解答可能出错，重要结果请独立验算。
公式速查
公式与适用条件
保留分数，避免过早取小数。AI 解答可能出错，重要结果请独立验算。
2×2 公式
det([[a,b],[c,d]]) = ad − bc主对角线乘积减去另一条对角线乘积，结果可以为负。
余子式展开
det(A) = Σⱼ aᵢⱼ(−1)ⁱ⁺ʲMᵢⱼ先求子式，再按 +、−、+ 的符号展开；萨鲁斯法则仅适用于 3×3。
行替换
Rᵢ ← Rᵢ + kRⱼi ≠ j; det(A′) = det(A)
三角矩阵
det(U) = u₁₁u₂₂…uₙₙ可用消元化为三角矩阵；换行和缩放产生的因子必须保留。
例题
完整例题
保留分数，避免过早取小数。AI 解答可能出错，重要结果请独立验算。
例题 1
det([[2,1],[1,3]])用 ad−bc 求值，再用消元验算。
- a = 2; b = 1; c = 1; d = 3
- ad − bc = 2·3 − 1·1 = 5
结果: det(A) = 5 ≠ 0
验算: R₂ ← R₂ − ½R₁: 2·(5/2) = 5
例题 2
det([[1,2,0],[0,3,4],[5,0,6]])逐项展示子式和交替符号。
- (+ , − , +)
- M₁₁ = 3·6 − 4·0 = 18; M₁₂ = 0·6 − 4·5 = −20
- det(A) = 1·18 − 2·(−20) + 0 = 58
结果: det(A) = 58 ≠ 0
验算: R₃ ← R₃ − 5R₁; R₃ ← R₃ + (10/3)R₂: 1·3·(58/3) = 58
例题 3
det([[1,2,3],[2,4,6],[0,1,1]])第二行是第一行的两倍，所以矩阵奇异。
- R₂ = 2R₁
- R₂ ← R₂ − 2R₁: R₂ = [0,0,0]
- det(A) = 0
结果: det(A) = 0
验算: 1·(4−6) − 2·(2−0) + 3·(2−0) = 0
需要注意的常见错误
保留分数，避免过早取小数。AI 解答可能出错，重要结果请独立验算。
先看矩阵维度
行列式和特征值要求方阵；乘法要求中间维度相等。
不要丢负号和因子
行交换、行缩放、余子式展开都可能改变符号或数值。
不要跳过验算
代回原式检查；求特征向量时还要排除零向量。
常见问题
