01
p(λ) = det(λI − A)特征多项式
求 det(λI−A) 的零点；2×2 时可用迹和行列式检查系数。
特征值计算器
eigenvalue calculator
Av = λv
特征多项式
特征向量与特征空间
重复特征值
eigenvalue calculator
特征值计算器
输入方阵，获取特征多项式、特征值、特征向量及重根和复数根的 AI 讲解，并检查 Av = λv。 保留分数，避免过早取小数。AI 解答可能出错，重要结果请独立验算。
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选择你要计算的内容
输入方阵，获取特征多项式、特征值、特征向量及重根和复数根的 AI 讲解，并检查 Av = λv。
02
(A − λI)v = 0特征向量与特征空间
求 (A−λI)v=0 的非零解，非零倍数也表示同一方向。
03
1 ≤ dim Eλ ≤ mλ重复特征值
代数重数不一定等于特征空间维数，需要继续解零空间。
04
A = PDP⁻¹复数根与对角化
实矩阵可能有复特征值；对角化需要足够多线性无关的特征向量。
方法
输入与验算步骤
保留分数，避免过早取小数。AI 解答可能出错，重要结果请独立验算。
- 1
输入完整矩阵
A ∈ ℝⁿˣⁿ每组方括号是一行，保留负号和分数；解方程组时还需右端向量。
- 2
说明运算和方法
det(A − λI) = 0写明要找的结果、指定方法，以及在实数还是复数范围内计算。
- 3
逐步检查推导
v ∈ ker(A − λI), v ≠ 0对照原矩阵检查每次行变换、符号和自由变量。
- 4
代回验证
Av − λv = 0将结果代回原式；逆矩阵检查乘积，特征向量检查 Av = λv。
保留分数，避免过早取小数。AI 解答可能出错，重要结果请独立验算。
公式速查
公式与适用条件
保留分数，避免过早取小数。AI 解答可能出错，重要结果请独立验算。
特征对
Av = λv, v ≠ 0求 (A−λI)v=0 的非零解，非零倍数也表示同一方向。
2×2 特征多项式
p(λ) = λ² − tr(A)λ + det(A)求 det(λI−A) 的零点；2×2 时可用迹和行列式检查系数。
和与积
Σλᵢ = tr(A); ∏λᵢ = det(A)λ₁, …, λₙ; 代数重数不一定等于特征空间维数，需要继续解零空间。
对角化
AP = PD实矩阵可能有复特征值；对角化需要足够多线性无关的特征向量。
例题
完整例题
保留分数，避免过早取小数。AI 解答可能出错，重要结果请独立验算。
例题 1
Av = λv; A = [[3,1],[0,2]]分别求两个特征空间并验算特征对。
- p(λ) = (λ−3)(λ−2)
- λ = 3: (A−3I)v = 0 ⇒ v = t[1,0], t ≠ 0
- λ = 2: (A−2I)v = 0 ⇒ v = t[−1,1], t ≠ 0
结果: λ = 3: E₃ = span{[1,0]}; λ = 2: E₂ = span{[−1,1]}
验算: A[1,0] = 3[1,0]; A[−1,1] = 2[−1,1]
例题 2
Av = λv; A = [[2,1],[0,2]]二重根只有一个独立特征向量，不能对角化。
- p(λ) = (λ−2)²
- A−2I = [[0,1],[0,0]] ⇒ v = t[1,0], t ≠ 0
- dim ker(A−2I) = 1 < 2
结果: λ = 2; dim E₂ = 1; A ≠ PDP⁻¹
验算: A[1,0] = 2[1,0]; 2+2 = 4; 2·2 = 4
例题 3
Av = λv; A = [[0,−1],[1,0]]旋转矩阵无实特征值，但有两个复特征值。
- p(λ) = λ² + 1
- λ = i: v = [1,−i]; λ = −i: v = [1,i]
- ℝ: ∄ λ; ℂ: λ = ±i
结果: ℂ: λ = ±i; Eᵢ = span{[1,−i]}, E₋ᵢ = span{[1,i]}
验算: A[1,−i] = [i,1] = i[1,−i]; i+(−i) = 0; i(−i) = 1
需要注意的常见错误
保留分数，避免过早取小数。AI 解答可能出错，重要结果请独立验算。
先看矩阵维度
行列式和特征值要求方阵；乘法要求中间维度相等。
不要丢负号和因子
行交换、行缩放、余子式展开都可能改变符号或数值。
不要跳过验算
代回原式检查；求特征向量时还要排除零向量。
常见问题
