01
A·B / A⁻¹矩阵运算
矩阵乘法要求中间维度相等；逆矩阵要求方阵非奇异。
线性代数计算器
linear algebra calculator
Ax = b
矩阵运算
线性方程组与行化简
秩与零空间
linear algebra calculator
线性代数计算器
输入矩阵或上传题目，获取矩阵运算、行化简、线性方程组、秩和零空间的 AI 分步讲解，并用原式验算。 保留分数，避免过早取小数。AI 解答可能出错，重要结果请独立验算。
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02
[A | b] → RREF线性方程组与行化简
对增广矩阵做消元，区分唯一解、无解和无穷多解。
03
rank(A) + nullity(A) = n秩与零空间
数主元求秩，用自由变量写出零空间的基。
04
u·v / Av = λv向量与特征问题
可询问点积、投影、行列式与特征向量；下方有专项入口。
方法
输入与验算步骤
保留分数，避免过早取小数。AI 解答可能出错，重要结果请独立验算。
- 1
输入完整矩阵
A, b每组方括号是一行，保留负号和分数；解方程组时还需右端向量。
- 2
说明运算和方法
Ax = b写明要找的结果、指定方法，以及在实数还是复数范围内计算。
- 3
逐步检查推导
R₂ ← R₂ − ½R₁对照原矩阵检查每次行变换、符号和自由变量。
- 4
代回验证
Ax − b = 0将结果代回原式；逆矩阵检查乘积，特征向量检查 Av = λv。
保留分数，避免过早取小数。AI 解答可能出错，重要结果请独立验算。
公式速查
公式与适用条件
保留分数，避免过早取小数。AI 解答可能出错，重要结果请独立验算。
矩阵乘法
(m×n)(n×p) → m×p矩阵乘法要求中间维度相等；逆矩阵要求方阵非奇异。
逆矩阵
AA⁻¹ = A⁻¹A = I矩阵乘法要求中间维度相等；逆矩阵要求方阵非奇异。
线性方程组
Ax = b对增广矩阵做消元，区分唯一解、无解和无穷多解。
秩—零度定理
rank(A) + nullity(A) = n数主元求秩，用自由变量写出零空间的基。
例题
完整例题
保留分数，避免过早取小数。AI 解答可能出错，重要结果请独立验算。
例题 1
Ax = b; A = [[2,1],[1,3]], b = [5,5]用消元求解，再代回原方程。
- 2x + y = 5; x + 3y = 5
- R₂ ← R₂ − ½R₁: [0, 5/2 | 5/2]
- y = 1; x = (5−1)/2 = 2
结果: x = [2,1]
验算: A[2,1] = [5,5] = b
例题 2
A⁻¹; A = [[2,1],[1,3]]对同一矩阵求逆，检查乘积等于单位矩阵。
- det(A) = 6−1 = 5 ≠ 0
- A⁻¹ = (1/5)[[3,−1],[−1,2]]
结果: A⁻¹ = [[3/5,−1/5],[−1/5,2/5]]
验算: AA⁻¹ = (1/5)[[5,0],[0,5]] = I
例题 3
rank(A), ker(A); A = [[1,2,3],[2,4,6]]依赖行留下两个自由变量。
- R₂ ← R₂ − 2R₁: [[1,2,3],[0,0,0]]
- x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 0
- x = s[−2,1,0] + t[−3,0,1]
结果: rank(A) = 1; ker(A) = span{[−2,1,0], [−3,0,1]}
验算: A[−2,1,0] = A[−3,0,1] = [0,0]; 1+2 = 3
需要注意的常见错误
保留分数，避免过早取小数。AI 解答可能出错，重要结果请独立验算。
先看矩阵维度
行列式和特征值要求方阵；乘法要求中间维度相等。
不要丢负号和因子
行交换、行缩放、余子式展开都可能改变符号或数值。
不要跳过验算
代回原式检查；求特征向量时还要排除零向量。
常见问题
