01
A·B / A⁻¹Opérations matricielles
Pour AB, les dimensions intérieures doivent coïncider ; une inverse exige une matrice carrée non singulière.
Calculateur d’algèbre linéaire
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Saisissez une matrice pour obtenir des explications IA sur les opérations, la réduction par lignes, Ax=b, le rang et le noyau. Vérifiez les résultats.
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Ax = b
Opérations matricielles
Systèmes et réduction par lignes
Rang et noyau
linear algebra calculator
Calculateur d’algèbre linéaire
Saisissez une matrice pour obtenir des explications IA sur les opérations, la réduction par lignes, Ax=b, le rang et le noyau. Vérifiez les résultats. Gardez les fractions sans arrondir trop tôt. L’IA peut se tromper : vérifiez les calculs importants.
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Choisir l’opération
Saisissez une matrice pour obtenir des explications IA sur les opérations, la réduction par lignes, Ax=b, le rang et le noyau. Vérifiez les résultats.
02
[A | b] → RREFSystèmes et réduction par lignes
Réduisez [A|b] et distinguez solution unique, incompatibilité et variables libres.
03
rank(A) + nullity(A) = nRang et noyau
Comptez les pivots et construisez une base du noyau avec les variables libres.
04
u·v / Av = λvVecteurs et questions spectrales
Demandez produits scalaires, projections, déterminants ou vecteurs propres.
Méthode
Saisie et vérification
Gardez les fractions sans arrondir trop tôt. L’IA peut se tromper : vérifiez les calculs importants.
- 1
Saisir la matrice entière
A, bChaque paire de crochets intérieure est une ligne. Gardez les signes, les fractions et le second membre b.
- 2
Préciser l’opération
Ax = bIndiquez la méthode voulue et le corps réel ou complexe.
- 3
Suivre les étapes
R₂ ← R₂ − ½R₁Contrôlez chaque opération sur les lignes et chaque variable libre.
- 4
Vérifier le résultat
Ax − b = 0Remplacez dans l’équation initiale ou vérifiez le produit et chaque couple propre.
Gardez les fractions sans arrondir trop tôt. L’IA peut se tromper : vérifiez les calculs importants.
Référence
Formules et conditions
Gardez les fractions sans arrondir trop tôt. L’IA peut se tromper : vérifiez les calculs importants.
Produit matriciel
(m×n)(n×p) → m×pPour AB, les dimensions intérieures doivent coïncider ; une inverse exige une matrice carrée non singulière.
Inverse
AA⁻¹ = A⁻¹A = IPour AB, les dimensions intérieures doivent coïncider ; une inverse exige une matrice carrée non singulière.
Système linéaire
Ax = bRéduisez [A|b] et distinguez solution unique, incompatibilité et variables libres.
Rang et dimension du noyau
rank(A) + nullity(A) = nComptez les pivots et construisez une base du noyau avec les variables libres.
Exemple
Exemples résolus
Gardez les fractions sans arrondir trop tôt. L’IA peut se tromper : vérifiez les calculs importants.
Exemple 1
Ax = b; A = [[2,1],[1,3]], b = [5,5]Élimination puis substitution dans le système initial.
- 2x + y = 5; x + 3y = 5
- R₂ ← R₂ − ½R₁: [0, 5/2 | 5/2]
- y = 1; x = (5−1)/2 = 2
Résultat: x = [2,1]
Vérification: A[2,1] = [5,5] = b
Exemple 2
A⁻¹; A = [[2,1],[1,3]]Inverse de la même matrice, vérifiée par la matrice identité.
- det(A) = 6−1 = 5 ≠ 0
- A⁻¹ = (1/5)[[3,−1],[−1,2]]
Résultat: A⁻¹ = [[3/5,−1/5],[−1/5,2/5]]
Vérification: AA⁻¹ = (1/5)[[5,0],[0,5]] = I
Exemple 3
rank(A), ker(A); A = [[1,2,3],[2,4,6]]Une ligne dépendante laisse deux variables libres.
- R₂ ← R₂ − 2R₁: [[1,2,3],[0,0,0]]
- x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 0
- x = s[−2,1,0] + t[−3,0,1]
Résultat: rank(A) = 1; ker(A) = span{[−2,1,0], [−3,0,1]}
Vérification: A[−2,1,0] = A[−3,0,1] = [0,0]; 1+2 = 3
Erreurs fréquentes à surveiller
Gardez les fractions sans arrondir trop tôt. L’IA peut se tromper : vérifiez les calculs importants.
Dimensions incompatibles
Déterminants et valeurs propres exigent une matrice carrée ; vérifiez les dimensions pour AB.
Perdre signes et facteurs
Suivez les échanges, les multiplications de lignes et les signes des cofacteurs.
Oublier la vérification
Remplacez dans la formule initiale ; un vecteur propre ne peut pas être nul.
Questions fréquentes
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