01
A·B / A⁻¹Operações matriciais
Em AB as dimensões internas devem coincidir; a inversa exige uma matriz quadrada não singular.
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Insira matrizes para explicações de IA sobre operações, redução por linhas, Ax=b, posto e núcleo. Verifique os resultados.
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Ax = b
Operações matriciais
Sistemas e redução por linhas
Posto e núcleo
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Escolha a operação
Insira matrizes para explicações de IA sobre operações, redução por linhas, Ax=b, posto e núcleo. Verifique os resultados.
02
[A | b] → RREFSistemas e redução por linhas
Reduza [A|b] e diferencie solução única, incompatibilidade e variáveis livres.
03
rank(A) + nullity(A) = nPosto e núcleo
Conte pivôs e construa uma base do núcleo com as variáveis livres.
04
u·v / Av = λvVetores e questões espectrais
Peça produtos escalares, projeções, determinantes ou autovetores.
Método
Entrada e verificação
Mantenha frações sem arredondar cedo. A IA pode errar; verifique cálculos importantes de forma independente.
- 1
Insira a matriz completa
A, bCada par de colchetes interno é uma linha. Preserve sinais e frações e inclua b para Ax=b.
- 2
Especifique a operação
Ax = bDiga o método e se trabalha com números reais ou complexos.
- 3
Acompanhe os passos
R₂ ← R₂ − ½R₁Confira cada operação de linha e cada variável livre.
- 4
Verifique o resultado
Ax − b = 0Substitua na equação original ou confira o produto e cada par próprio.
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Referência
Fórmulas e condições
Mantenha frações sem arredondar cedo. A IA pode errar; verifique cálculos importantes de forma independente.
Produto matricial
(m×n)(n×p) → m×pEm AB as dimensões internas devem coincidir; a inversa exige uma matriz quadrada não singular.
Inversa
AA⁻¹ = A⁻¹A = IEm AB as dimensões internas devem coincidir; a inversa exige uma matriz quadrada não singular.
Sistema linear
Ax = bReduza [A|b] e diferencie solução única, incompatibilidade e variáveis livres.
Posto e nulidade
rank(A) + nullity(A) = nConte pivôs e construa uma base do núcleo com as variáveis livres.
Exemplo
Exemplos resolvidos
Mantenha frações sem arredondar cedo. A IA pode errar; verifique cálculos importantes de forma independente.
Exemplo 1
Ax = b; A = [[2,1],[1,3]], b = [5,5]Eliminação e substituição no sistema original.
- 2x + y = 5; x + 3y = 5
- R₂ ← R₂ − ½R₁: [0, 5/2 | 5/2]
- y = 1; x = (5−1)/2 = 2
Resultado: x = [2,1]
Verificação: A[2,1] = [5,5] = b
Exemplo 2
A⁻¹; A = [[2,1],[1,3]]Inversa da mesma matriz, verificada com a identidade.
- det(A) = 6−1 = 5 ≠ 0
- A⁻¹ = (1/5)[[3,−1],[−1,2]]
Resultado: A⁻¹ = [[3/5,−1/5],[−1/5,2/5]]
Verificação: AA⁻¹ = (1/5)[[5,0],[0,5]] = I
Exemplo 3
rank(A), ker(A); A = [[1,2,3],[2,4,6]]Uma linha dependente deixa duas variáveis livres.
- R₂ ← R₂ − 2R₁: [[1,2,3],[0,0,0]]
- x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 0
- x = s[−2,1,0] + t[−3,0,1]
Resultado: rank(A) = 1; ker(A) = span{[−2,1,0], [−3,0,1]}
Verificação: A[−2,1,0] = A[−3,0,1] = [0,0]; 1+2 = 3
Erros comuns que merecem atenção
Mantenha frações sem arredondar cedo. A IA pode errar; verifique cálculos importantes de forma independente.
Dimensões incompatíveis
Determinantes e autovalores exigem matrizes quadradas; confira as dimensões do produto.
Perder sinais ou fatores
Registre trocas, escalas das linhas e sinais dos cofatores.
Pular a verificação
Substitua o resultado; o vetor nulo não é um autovetor.
Perguntas frequentes
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