固有値計算機

計算例 1

異なる2つの固有値について固有対を検算します。

1. p(λ) = (λ−3)(λ−2)
2. λ = 3: (A−3I)v = 0 ⇒ v = t[1,0], t ≠ 0
3. λ = 2: (A−2I)v = 0 ⇒ v = t[−1,1], t ≠ 0

結果: λ = 3: E₃ = span{[1,0]}; λ = 2: E₂ = span{[−1,1]}

検算: A[1,0] = 3[1,0]; A[−1,1] = 2[−1,1]

計算例 2

二重根に対して独立な固有ベクトルが1つだけなので対角化できません。

1. p(λ) = (λ−2)²
2. A−2I = [[0,1],[0,0]] ⇒ v = t[1,0], t ≠ 0
3. dim ker(A−2I) = 1 < 2

結果: λ = 2; dim E₂ = 1; A ≠ PDP⁻¹

検算: A[1,0] = 2[1,0]; 2+2 = 4; 2·2 = 4

計算例 3

回転行列には2つの複素固有値があり、実固有値はありません。

1. p(λ) = λ² + 1
2. λ = i: v = [1,−i]; λ = −i: v = [1,i]
3. ℝ: ∄ λ; ℂ: λ = ±i

結果: ℂ: λ = ±i; Eᵢ = span{[1,−i]}, E₋ᵢ = span{[1,i]}

検算: A[1,−i] = [i,1] = i[1,−i]; i+(−i) = 0; i(−i) = 1