고유값 계산기

예제 1

서로 다른 두 고유값의 고유벡터를 검산합니다.

1. p(λ) = (λ−3)(λ−2)
2. λ = 3: (A−3I)v = 0 ⇒ v = t[1,0], t ≠ 0
3. λ = 2: (A−2I)v = 0 ⇒ v = t[−1,1], t ≠ 0

결과: λ = 3: E₃ = span{[1,0]}; λ = 2: E₂ = span{[−1,1]}

검산: A[1,0] = 3[1,0]; A[−1,1] = 2[−1,1]

예제 2

중근에 독립 고유벡터가 하나뿐이므로 대각화할 수 없습니다.

1. p(λ) = (λ−2)²
2. A−2I = [[0,1],[0,0]] ⇒ v = t[1,0], t ≠ 0
3. dim ker(A−2I) = 1 < 2

결과: λ = 2; dim E₂ = 1; A ≠ PDP⁻¹

검산: A[1,0] = 2[1,0]; 2+2 = 4; 2·2 = 4

예제 3

회전행렬에는 두 복소 고유값이 있고 실수 고유값은 없습니다.

1. p(λ) = λ² + 1
2. λ = i: v = [1,−i]; λ = −i: v = [1,i]
3. ℝ: ∄ λ; ℂ: λ = ±i

결과: ℂ: λ = ±i; Eᵢ = span{[1,−i]}, E₋ᵢ = span{[1,i]}

검산: A[1,−i] = [i,1] = i[1,−i]; i+(−i) = 0; i(−i) = 1