01
ad − bc2×2 行列式
主對角線乘積減去另一條對角線乘積，結果可以為負。
行列式計算器
determinant calculator
det(A) = ad − bc
2×2 行列式
3×3 餘因子展開
更大方陣與列運算
determinant calculator
行列式計算器
輸入方陣，查看 2×2 與 3×3 行列式的分步講解，理解餘因子展開、列運算與矩陣可逆性。 保留分數，避免過早取小數。AI 解答可能出錯，重要結果請獨立驗算。
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選擇要計算的內容
輸入方陣，查看 2×2 與 3×3 行列式的分步講解，理解餘因子展開、列運算與矩陣可逆性。
02
+ − +3×3 餘因子展開
先求子式，再按 +、−、+ 展開；薩魯斯法則僅適用 3×3。
03
det(U) = ∏uᵢᵢ更大方陣與列運算
消去成三角矩陣時，交換及縮放的因子必須保留。
04
det(A) = 0 ⇔ singular奇異性與幾何意義
行列式為零表示方陣不可逆；絕對值表示面積或體積縮放倍數。
方法
輸入與驗算步驟
保留分數，避免過早取小數。AI 解答可能出錯，重要結果請獨立驗算。
- 1
輸入完整矩陣
A ∈ ℝⁿˣⁿ每組方括號是一橫列，保留負號與分數；解方程組還需右端向量。
- 2
說明運算與方法
Cᵢⱼ = (−1)ⁱ⁺ʲ Mᵢⱼ寫明要找的結果、指定方法，以及在實數或複數範圍內計算。
- 3
逐步檢查推導
Rᵢ ↔ Rⱼ ⇒ −det(A)對照原矩陣檢查每次列運算、符號與自由變數。
- 4
代回驗證
det(A) ≠ 0 ⇒ A⁻¹將結果代回原式；逆矩陣檢查乘積，特徵向量檢查 Av = λv。
保留分數，避免過早取小數。AI 解答可能出錯，重要結果請獨立驗算。
公式速查
公式與適用條件
保留分數，避免過早取小數。AI 解答可能出錯，重要結果請獨立驗算。
2×2 公式
det([[a,b],[c,d]]) = ad − bc主對角線乘積減去另一條對角線乘積，結果可以為負。
餘因子展開
det(A) = Σⱼ aᵢⱼ(−1)ⁱ⁺ʲMᵢⱼ先求子式，再按 +、−、+ 展開；薩魯斯法則僅適用 3×3。
列替換
Rᵢ ← Rᵢ + kRⱼi ≠ j; det(A′) = det(A)
三角矩陣
det(U) = u₁₁u₂₂…uₙₙ消去成三角矩陣時，交換及縮放的因子必須保留。
例題
完整例題
保留分數，避免過早取小數。AI 解答可能出錯，重要結果請獨立驗算。
例題 1
det([[2,1],[1,3]])用 ad−bc 求值，再用消去法驗算。
- a = 2; b = 1; c = 1; d = 3
- ad − bc = 2·3 − 1·1 = 5
結果: det(A) = 5 ≠ 0
驗算: R₂ ← R₂ − ½R₁: 2·(5/2) = 5
例題 2
det([[1,2,0],[0,3,4],[5,0,6]])逐項展示子式與交替符號。
- (+ , − , +)
- M₁₁ = 3·6 − 4·0 = 18; M₁₂ = 0·6 − 4·5 = −20
- det(A) = 1·18 − 2·(−20) + 0 = 58
結果: det(A) = 58 ≠ 0
驗算: R₃ ← R₃ − 5R₁; R₃ ← R₃ + (10/3)R₂: 1·3·(58/3) = 58
例題 3
det([[1,2,3],[2,4,6],[0,1,1]])第二列是第一列的兩倍，因此矩陣奇異。
- R₂ = 2R₁
- R₂ ← R₂ − 2R₁: R₂ = [0,0,0]
- det(A) = 0
結果: det(A) = 0
驗算: 1·(4−6) − 2·(2−0) + 3·(2−0) = 0
需要注意的常見錯誤
保留分數，避免過早取小數。AI 解答可能出錯，重要結果請獨立驗算。
先看矩陣維度
行列式與特徵值要求方陣；乘法要求內部維度相等。
不要漏掉負號與因子
交換列、缩放列、餘因子展開都可能改變符號或數值。
不要跳過驗算
代回原式檢查；求特徵向量時還要排除零向量。
常見問題
