01
A·B / A⁻¹矩陣運算
矩陣乘法要求內部維度相等；逆矩陣要求方陣非奇異。
線性代數計算器
linear algebra calculator
Ax = b
矩陣運算
方程組與列簡化
秩與零空間
linear algebra calculator
線性代數計算器
輸入矩陣或上傳題目，取得矩陣運算、列簡化、線性方程組、秩與零空間的 AI 分步講解，並用原式驗算。 保留分數，避免過早取小數。AI 解答可能出錯，重要結果請獨立驗算。
文本輸入上傳圖片
linear algebra calculator
選擇要計算的內容
輸入矩陣或上傳題目，取得矩陣運算、列簡化、線性方程組、秩與零空間的 AI 分步講解，並用原式驗算。
02
[A | b] → RREF方程組與列簡化
對增廣矩陣消去，區分唯一解、無解與無限多解。
03
rank(A) + nullity(A) = n秩與零空間
數主元求秩，用自由變數寫出零空間的基底。
04
u·v / Av = λv向量與特徵問題
可詢問內積、投影、行列式與特徵向量；下方有專用入口。
方法
輸入與驗算步驟
保留分數，避免過早取小數。AI 解答可能出錯，重要結果請獨立驗算。
- 1
輸入完整矩陣
A, b每組方括號是一橫列，保留負號與分數；解方程組還需右端向量。
- 2
說明運算與方法
Ax = b寫明要找的結果、指定方法，以及在實數或複數範圍內計算。
- 3
逐步檢查推導
R₂ ← R₂ − ½R₁對照原矩陣檢查每次列運算、符號與自由變數。
- 4
代回驗證
Ax − b = 0將結果代回原式；逆矩陣檢查乘積，特徵向量檢查 Av = λv。
保留分數，避免過早取小數。AI 解答可能出錯，重要結果請獨立驗算。
公式速查
公式與適用條件
保留分數，避免過早取小數。AI 解答可能出錯，重要結果請獨立驗算。
矩陣乘法
(m×n)(n×p) → m×p矩陣乘法要求內部維度相等；逆矩陣要求方陣非奇異。
逆矩陣
AA⁻¹ = A⁻¹A = I矩陣乘法要求內部維度相等；逆矩陣要求方陣非奇異。
線性方程組
Ax = b對增廣矩陣消去，區分唯一解、無解與無限多解。
秩—零度定理
rank(A) + nullity(A) = n數主元求秩，用自由變數寫出零空間的基底。
例題
完整例題
保留分數，避免過早取小數。AI 解答可能出錯，重要結果請獨立驗算。
例題 1
Ax = b; A = [[2,1],[1,3]], b = [5,5]用消去法求解，再代回原方程。
- 2x + y = 5; x + 3y = 5
- R₂ ← R₂ − ½R₁: [0, 5/2 | 5/2]
- y = 1; x = (5−1)/2 = 2
結果: x = [2,1]
驗算: A[2,1] = [5,5] = b
例題 2
A⁻¹; A = [[2,1],[1,3]]對同一矩陣求逆，檢查乘積等於單位矩陣。
- det(A) = 6−1 = 5 ≠ 0
- A⁻¹ = (1/5)[[3,−1],[−1,2]]
結果: A⁻¹ = [[3/5,−1/5],[−1/5,2/5]]
驗算: AA⁻¹ = (1/5)[[5,0],[0,5]] = I
例題 3
rank(A), ker(A); A = [[1,2,3],[2,4,6]]相依列留下兩個自由變數。
- R₂ ← R₂ − 2R₁: [[1,2,3],[0,0,0]]
- x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 0
- x = s[−2,1,0] + t[−3,0,1]
結果: rank(A) = 1; ker(A) = span{[−2,1,0], [−3,0,1]}
驗算: A[−2,1,0] = A[−3,0,1] = [0,0]; 1+2 = 3
需要注意的常見錯誤
保留分數，避免過早取小數。AI 解答可能出錯，重要結果請獨立驗算。
先看矩陣維度
行列式與特徵值要求方陣；乘法要求內部維度相等。
不要漏掉負號與因子
交換列、缩放列、餘因子展開都可能改變符號或數值。
不要跳過驗算
代回原式檢查；求特徵向量時還要排除零向量。
常見問題
