01
p(λ) = det(λI − A)特徵多項式
求 det(λI−A) 的零點；2×2 時用跡與行列式檢查係數。
特徵值計算器
eigenvalue calculator
Av = λv
特徵多項式
特徵向量與特徵空間
重複特徵值
eigenvalue calculator
特徵值計算器
輸入方陣，取得特徵多項式、特徵值、特徵向量及重根與複數根的 AI 講解，並檢查 Av = λv。 保留分數，避免過早取小數。AI 解答可能出錯，重要結果請獨立驗算。
文本輸入上傳圖片
eigenvalue calculator
選擇要計算的內容
輸入方陣，取得特徵多項式、特徵值、特徵向量及重根與複數根的 AI 講解，並檢查 Av = λv。
02
(A − λI)v = 0特徵向量與特徵空間
求 (A−λI)v=0 的非零解；非零倍數表示相同方向。
03
1 ≤ dim Eλ ≤ mλ重複特徵值
代數重數未必等於特徵空間維度，仍需解零空間。
04
A = PDP⁻¹複數根與對角化
實矩陣可能有複特徵值；對角化需要足夠的線性獨立特徵向量。
方法
輸入與驗算步驟
保留分數，避免過早取小數。AI 解答可能出錯，重要結果請獨立驗算。
- 1
輸入完整矩陣
A ∈ ℝⁿˣⁿ每組方括號是一橫列，保留負號與分數；解方程組還需右端向量。
- 2
說明運算與方法
det(A − λI) = 0寫明要找的結果、指定方法，以及在實數或複數範圍內計算。
- 3
逐步檢查推導
v ∈ ker(A − λI), v ≠ 0對照原矩陣檢查每次列運算、符號與自由變數。
- 4
代回驗證
Av − λv = 0將結果代回原式；逆矩陣檢查乘積，特徵向量檢查 Av = λv。
保留分數，避免過早取小數。AI 解答可能出錯，重要結果請獨立驗算。
公式速查
公式與適用條件
保留分數，避免過早取小數。AI 解答可能出錯，重要結果請獨立驗算。
特徵對
Av = λv, v ≠ 0求 (A−λI)v=0 的非零解；非零倍數表示相同方向。
2×2 特徵多項式
p(λ) = λ² − tr(A)λ + det(A)求 det(λI−A) 的零點；2×2 時用跡與行列式檢查係數。
和與積
Σλᵢ = tr(A); ∏λᵢ = det(A)λ₁, …, λₙ; 代數重數未必等於特徵空間維度，仍需解零空間。
對角化
AP = PD實矩陣可能有複特徵值；對角化需要足夠的線性獨立特徵向量。
例題
完整例題
保留分數，避免過早取小數。AI 解答可能出錯，重要結果請獨立驗算。
例題 1
Av = λv; A = [[3,1],[0,2]]分別求兩個特徵空間並驗算特徵對。
- p(λ) = (λ−3)(λ−2)
- λ = 3: (A−3I)v = 0 ⇒ v = t[1,0], t ≠ 0
- λ = 2: (A−2I)v = 0 ⇒ v = t[−1,1], t ≠ 0
結果: λ = 3: E₃ = span{[1,0]}; λ = 2: E₂ = span{[−1,1]}
驗算: A[1,0] = 3[1,0]; A[−1,1] = 2[−1,1]
例題 2
Av = λv; A = [[2,1],[0,2]]二重根只有一個獨立特徵向量，不能對角化。
- p(λ) = (λ−2)²
- A−2I = [[0,1],[0,0]] ⇒ v = t[1,0], t ≠ 0
- dim ker(A−2I) = 1 < 2
結果: λ = 2; dim E₂ = 1; A ≠ PDP⁻¹
驗算: A[1,0] = 2[1,0]; 2+2 = 4; 2·2 = 4
例題 3
Av = λv; A = [[0,−1],[1,0]]旋轉矩陣沒有實特徵值，但有兩個複特徵值。
- p(λ) = λ² + 1
- λ = i: v = [1,−i]; λ = −i: v = [1,i]
- ℝ: ∄ λ; ℂ: λ = ±i
結果: ℂ: λ = ±i; Eᵢ = span{[1,−i]}, E₋ᵢ = span{[1,i]}
驗算: A[1,−i] = [i,1] = i[1,−i]; i+(−i) = 0; i(−i) = 1
需要注意的常見錯誤
保留分數，避免過早取小數。AI 解答可能出錯，重要結果請獨立驗算。
先看矩陣維度
行列式與特徵值要求方陣；乘法要求內部維度相等。
不要漏掉負號與因子
交換列、缩放列、餘因子展開都可能改變符號或數值。
不要跳過驗算
代回原式檢查；求特徵向量時還要排除零向量。
常見問題
