01
ad − bc2×2-Determinante
ad−bc berechnen; negative Ergebnisse sind zulässig.
Determinantenrechner
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Gib eine quadratische Matrix ein und verfolge 2×2- und 3×3-Determinanten, Kofaktorentwicklung und Auswirkungen von Zeilenoperationen.
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Aufgabe eingebendeterminant calculator
det(A) = ad − bc
2×2-Determinante
3×3-Kofaktorentwicklung
Elimination und größere Matrizen
determinant calculator
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Gib eine quadratische Matrix ein und verfolge 2×2- und 3×3-Determinanten, Kofaktorentwicklung und Auswirkungen von Zeilenoperationen. Brüche beibehalten und nicht zu früh runden. KI kann Fehler machen; wichtige Rechnungen unabhängig prüfen.
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Gib eine quadratische Matrix ein und verfolge 2×2- und 3×3-Determinanten, Kofaktorentwicklung und Auswirkungen von Zeilenoperationen.
02
+ − +3×3-Kofaktorentwicklung
Minoren mit wechselnden Vorzeichen verwenden. Sarrus gilt nur für 3×3.
03
det(U) = ∏uᵢᵢElimination und größere Matrizen
Beim Diagonalprodukt einer Dreiecksmatrix Zeilentausch und Skalierungsfaktoren berücksichtigen.
04
det(A) = 0 ⇔ singularSingularität und Geometrie
Determinante null bedeutet singulär; ihr Betrag beschreibt Flächen- oder Volumenskalierung.
Methode
Eingabe und Überprüfung
Brüche beibehalten und nicht zu früh runden. KI kann Fehler machen; wichtige Rechnungen unabhängig prüfen.
- 1
Vollständige Matrix eingeben
A ∈ ℝⁿˣⁿJede innere Klammer ist eine Zeile. Vorzeichen, Brüche und die rechte Seite b erhalten.
- 2
Operation angeben
Cᵢⱼ = (−1)ⁱ⁺ʲ MᵢⱼGewünschte Methode und den reellen oder komplexen Zahlenbereich nennen.
- 3
Schritte nachvollziehen
Rᵢ ↔ Rⱼ ⇒ −det(A)Jede Zeilenoperation und jede freie Variable mit der Originalmatrix vergleichen.
- 4
Ergebnis prüfen
det(A) ≠ 0 ⇒ A⁻¹In die Ausgangsgleichung einsetzen oder das Produkt und jedes Eigenpaar überprüfen.
Brüche beibehalten und nicht zu früh runden. KI kann Fehler machen; wichtige Rechnungen unabhängig prüfen.
Formelübersicht
Formeln und Voraussetzungen
Brüche beibehalten und nicht zu früh runden. KI kann Fehler machen; wichtige Rechnungen unabhängig prüfen.
2×2-Formel
det([[a,b],[c,d]]) = ad − bcad−bc berechnen; negative Ergebnisse sind zulässig.
Kofaktorentwicklung
det(A) = Σⱼ aᵢⱼ(−1)ⁱ⁺ʲMᵢⱼMinoren mit wechselnden Vorzeichen verwenden. Sarrus gilt nur für 3×3.
Zeilenaddition
Rᵢ ← Rᵢ + kRⱼi ≠ j; det(A′) = det(A)
Dreiecksmatrix
det(U) = u₁₁u₂₂…uₙₙBeim Diagonalprodukt einer Dreiecksmatrix Zeilentausch und Skalierungsfaktoren berücksichtigen.
Beispiel
Durchgerechnete Beispiele
Brüche beibehalten und nicht zu früh runden. KI kann Fehler machen; wichtige Rechnungen unabhängig prüfen.
Beispiel 1
det([[2,1],[1,3]])ad−bc und Prüfung durch Elimination.
- a = 2; b = 1; c = 1; d = 3
- ad − bc = 2·3 − 1·1 = 5
Ergebnis: det(A) = 5 ≠ 0
Prüfung: R₂ ← R₂ − ½R₁: 2·(5/2) = 5
Beispiel 2
det([[1,2,0],[0,3,4],[5,0,6]])Minoren und wechselnde Vorzeichen der ersten Zeile.
- (+ , − , +)
- M₁₁ = 3·6 − 4·0 = 18; M₁₂ = 0·6 − 4·5 = −20
- det(A) = 1·18 − 2·(−20) + 0 = 58
Ergebnis: det(A) = 58 ≠ 0
Prüfung: R₃ ← R₃ − 5R₁; R₃ ← R₃ + (10/3)R₂: 1·3·(58/3) = 58
Beispiel 3
det([[1,2,3],[2,4,6],[0,1,1]])Die zweite Zeile ist doppelt so groß wie die erste: singulär.
- R₂ = 2R₁
- R₂ ← R₂ − 2R₁: R₂ = [0,0,0]
- det(A) = 0
Ergebnis: det(A) = 0
Prüfung: 1·(4−6) − 2·(2−0) + 3·(2−0) = 0
Häufige Fehler, auf die du achten solltest
Brüche beibehalten und nicht zu früh runden. KI kann Fehler machen; wichtige Rechnungen unabhängig prüfen.
Unpassende Dimensionen
Determinanten und Eigenwerte erfordern quadratische Matrizen; auch Produktdimensionen prüfen.
Vorzeichen oder Faktoren verlieren
Zeilentausch, Skalierung und Kofaktorvorzeichen genau verfolgen.
Überprüfung überspringen
Ergebnis einsetzen; der Nullvektor ist kein Eigenvektor.
Häufige Fragen
