01
A·B / A⁻¹Matrixoperationen
Für AB müssen die inneren Dimensionen passen; eine Inverse benötigt eine nichtsinguläre quadratische Matrix.
Rechner für lineare Algebra
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Gib Matrizen ein und erhalte KI-Erklärungen zu Matrixoperationen, Zeilenreduktion, Ax=b, Rang und Kern. Prüfe die Ergebnisse.
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Ax = b
Matrixoperationen
Systeme und Zeilenreduktion
Rang und Kern
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02
[A | b] → RREFSysteme und Zeilenreduktion
[A|b] reduzieren und eindeutige Lösung, Widerspruch und freie Variablen unterscheiden.
03
rank(A) + nullity(A) = nRang und Kern
Pivotstellen zählen und aus freien Variablen eine Kernbasis bilden.
04
u·v / Av = λvVektoren und Eigenwertfragen
Skalarprodukte, Projektionen, Determinanten oder Eigenvektoren anfragen.
Methode
Eingabe und Überprüfung
Brüche beibehalten und nicht zu früh runden. KI kann Fehler machen; wichtige Rechnungen unabhängig prüfen.
- 1
Vollständige Matrix eingeben
A, bJede innere Klammer ist eine Zeile. Vorzeichen, Brüche und die rechte Seite b erhalten.
- 2
Operation angeben
Ax = bGewünschte Methode und den reellen oder komplexen Zahlenbereich nennen.
- 3
Schritte nachvollziehen
R₂ ← R₂ − ½R₁Jede Zeilenoperation und jede freie Variable mit der Originalmatrix vergleichen.
- 4
Ergebnis prüfen
Ax − b = 0In die Ausgangsgleichung einsetzen oder das Produkt und jedes Eigenpaar überprüfen.
Brüche beibehalten und nicht zu früh runden. KI kann Fehler machen; wichtige Rechnungen unabhängig prüfen.
Formelübersicht
Formeln und Voraussetzungen
Brüche beibehalten und nicht zu früh runden. KI kann Fehler machen; wichtige Rechnungen unabhängig prüfen.
Matrixprodukt
(m×n)(n×p) → m×pFür AB müssen die inneren Dimensionen passen; eine Inverse benötigt eine nichtsinguläre quadratische Matrix.
Inverse
AA⁻¹ = A⁻¹A = IFür AB müssen die inneren Dimensionen passen; eine Inverse benötigt eine nichtsinguläre quadratische Matrix.
Lineares System
Ax = b[A|b] reduzieren und eindeutige Lösung, Widerspruch und freie Variablen unterscheiden.
Rang und Kerndimension
rank(A) + nullity(A) = nPivotstellen zählen und aus freien Variablen eine Kernbasis bilden.
Beispiel
Durchgerechnete Beispiele
Brüche beibehalten und nicht zu früh runden. KI kann Fehler machen; wichtige Rechnungen unabhängig prüfen.
Beispiel 1
Ax = b; A = [[2,1],[1,3]], b = [5,5]Elimination und Einsetzen in das ursprüngliche System.
- 2x + y = 5; x + 3y = 5
- R₂ ← R₂ − ½R₁: [0, 5/2 | 5/2]
- y = 1; x = (5−1)/2 = 2
Ergebnis: x = [2,1]
Prüfung: A[2,1] = [5,5] = b
Beispiel 2
A⁻¹; A = [[2,1],[1,3]]Inverse derselben Matrix mit Prüfung am Einheitsprodukt.
- det(A) = 6−1 = 5 ≠ 0
- A⁻¹ = (1/5)[[3,−1],[−1,2]]
Ergebnis: A⁻¹ = [[3/5,−1/5],[−1/5,2/5]]
Prüfung: AA⁻¹ = (1/5)[[5,0],[0,5]] = I
Beispiel 3
rank(A), ker(A); A = [[1,2,3],[2,4,6]]Eine abhängige Zeile lässt zwei freie Variablen.
- R₂ ← R₂ − 2R₁: [[1,2,3],[0,0,0]]
- x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 0
- x = s[−2,1,0] + t[−3,0,1]
Ergebnis: rank(A) = 1; ker(A) = span{[−2,1,0], [−3,0,1]}
Prüfung: A[−2,1,0] = A[−3,0,1] = [0,0]; 1+2 = 3
Häufige Fehler, auf die du achten solltest
Brüche beibehalten und nicht zu früh runden. KI kann Fehler machen; wichtige Rechnungen unabhängig prüfen.
Unpassende Dimensionen
Determinanten und Eigenwerte erfordern quadratische Matrizen; auch Produktdimensionen prüfen.
Vorzeichen oder Faktoren verlieren
Zeilentausch, Skalierung und Kofaktorvorzeichen genau verfolgen.
Überprüfung überspringen
Ergebnis einsetzen; der Nullvektor ist kein Eigenvektor.
Häufige Fragen
